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实係数多项式方程式虚根成对定理


当多项式 $$f(x)$$ 的係数都是实数的时候,就称之为「实係数多项式」。任给一个 $$n$$ 次实係数多项式 $$f(x)=a_n{x^n}+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$,若我们分别将 $$x$$ 用一个複数及它的共轭複数代入,那会有什幺结果?

例如:若 $$f(x)=3x^2+2x+1$$,分别用 $$x=1+i$$ 与 $$x=1-i$$ 代入,得到 $$\begin{cases}f(1+i)=3(1+i)^2+2(1+i)+1=3+8i\\f(1-i)=3(1-i)^2+2(1-i)+1=3-8i\end{cases}$$,发现 $$f(1+i)$$ 与 $$f(1-i)$$ 两者是共轭複数。这并不是特例,而是一般的实係数多项式都会有的性质,下面我们用数学符号将这个性质写出来:

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次实係数多项式,

$$z$$是複数,则 $$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$$。

证明:

$$\begin{array}{ll}f(\overline{z})&=a_n(\overline{z})^n+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=a_n\overline{z^n}+a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n}+\overline{a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}}+\mbox{……}+\overline{a_1\cdot{z}}+\overline{a_0}\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n+a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}+\mbox{……}+a_1\cdot{z}+a_0}\\&=\overline{f(z)}\end{array}$$

利用这个性质可以知道,如果 $$f(z)=0$$,那 $$f(\overline{z})$$ 也会是 $$0$$。换句话说,如果 $$x=z$$ 是 $$f(x)=0$$ 的一个根,那 $$x=\overline{z}$$ 也会是根。这就是「实係数多项式方程式虚根成对定理」:

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}++a_1{x}+a_0=0$$ 是 $$n$$ 次实係数多项式方程式,
$$\alpha$$ 与 $$\beta$$ 是实数,若 $$x=\alpha+\beta{i}$$ 是 $$f(x)=0$$ 的根,则 $$x=\alpha-\beta{i}$$ 也是 $$f(x)=0$$ 的根。

利用「实係数多项式方程式虚根成对定理」与「代数基本定理」,我们马上可以得到「奇数次实係数多项式方程式至少有一个实根」。道理其实简单,由「代数基本定理」可知奇数次实係数多项式方程式的根是奇数个(个数就是$$x$$的最高次方),再由「实係数多项式方程式虚根成对定理」,知道这奇数个根中的虚根一定两两成对,所以,最后至少会有一个落单,而落单的根必是实根。事实上,若将 $$k$$ 重根计 $$k$$ 成个根的话,那我们还可以知道奇数次实係数多项式方程式的实根必定是奇数个。例如,若$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$$是三次实係数方程式,那幺它的根不是三个都是实根,就是一个实根与两个互为共轭複数的虚根。

除了可以进一步了解奇数次实係数多项式方程外,对于一般的实係数多项式方程式,我们还可以得到一个重要的推论:「任一个实係数多项式方程式一定可以因式分解成实係数一次因式或实係数二次因式的乘积。」理由如下:

假设 $$n$$ 次实係数多项式方程式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 的
实根为 $$\alpha_1, \alpha_2,\mbox{……}, \alpha_k$$,虚根为 $$\beta_1,\overline{\beta_1},\beta_2,\overline{\beta_2},\mbox{……},\beta_m,\overline{\beta_m}$$,
其中 $$k+2m=n$$,则 $$f(x)$$ 可因式分解成

$$\begin{array}{ll}f(x)&=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)(x-\beta_1)(x-\overline{\beta_1})(x-\beta_2)(x-\overline{\beta_2})\mbox{…}(x-\beta_m)(x-\overline{\beta_m})\\&=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)[x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}]\mbox{…}[x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}]\end{array}$$

其中 $$x-\alpha_1$$,$$x-\alpha_2$$,$$\mbox{……}$$,$$x-\alpha_k$$均为实係数一次式,$$x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}$$,$$x^2-(\beta_2+\overline{\beta_2})x+\beta_2\cdot\overline{\beta_2}$$,$$\mbox{……}$$,$$x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}$$均为实係数二次式。

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